Лекция 19 Приложение определенного интеграла. Площадь, длина кривой

Лекция 19 Приложение определенного интеграла. Площадь, длина кривой

Лекция 19 Приложение определенного интеграла. Площадь, длина кривой.

П.1 ПЛОЩАДЬ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ.

ОПР. Площадью фигуры Ф именуют число , которое не больше, чем площадь объемлющей простой фигуры , к примеру, составленных из многоугольников, и не меньше, чем Лекция 19 Приложение определенного интеграла. Площадь, длина кривой площадь хоть какой объемлемой простой фигуры .

Так как , следует считать, что площадь имеет та фигура, для которой

.

ОПР. Криволинейной трапецией именуют фигуру на плоскости, ограниченную осью ОХ,

прямыми с уравнениями и и кривой Лекция 19 Приложение определенного интеграла. Площадь, длина кривой графика функции , определенной на отрезке .

Пусть разбиение отрезка . В качестве объемлющей фигуры для криволинейной трапеции избираем также криволинейную трапецию, построенной для

кусочно-постоянной функции . Аналогично, объемлемой фигурой для криволинейной трапеции будем считать криволинейную Лекция 19 Приложение определенного интеграла. Площадь, длина кривой трапецию, построенную для кусочно-постоянной функции . Тогда и .

Выражения для и являются интегральными суммами ( верхняя и нижняя интегральные суммы Дарбу) . Если разбиение , то сумма убывает,

а - увеличивается. Если функция интегрируема, то Лекция 19 Приложение определенного интеграла. Площадь, длина кривой =.

Если на отрезке , то площадь криволинейной трапеции равна -.

Если функция меняет символ на отрезке , то на отрезках , где интеграл берется со знаком +, а на отрезках , где , интеграл берется со знаком Лекция 19 Приложение определенного интеграла. Площадь, длина кривой - .

ОПР. Простой областью на плоскости именуют фигуру, ограниченную

прямыми с уравнениями и , графиками непрерывных функций

и ,

ОПР. Простой областью на плоскости именуют фигуру, ограниченную

прямыми с уравнениями и , графиками непрерывных функций

и , .

ФОРМУЛЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ Лекция 19 Приложение определенного интеграла. Площадь, длина кривой фигур и .

и .

ДОК. Если и - криволинейные трапеции , надлежащие функциям и

на отрезке и , то . Тогда .


Если , но на неких промежутках, то существует число , для которого для функций и производится условие

. Площади Лекция 19 Приложение определенного интеграла. Площадь, длина кривой простых фигур, построенных для функций и на отрезке равны, т.е.

.

Формула для площади фигуры доказывается аналогично. Площадь имеют фигуры, являющиеся конечным объединением простых областей типа и .

ПРИМЕР 1. Площадь сектора окружности Лекция 19 Приложение определенного интеграла. Площадь, длина кривой радиуса r с углом  .

РЕШЕНИЕ.

.

Если граница криволинейной трапеции задается параметрически , ,

- растущая функция, , , . Тогда .

Вправду, по доказанному .

П 2. Вычисление площади в полярной системе координат.

ОПР. Простой областью на плоскости именуют Лекция 19 Приложение определенного интеграла. Площадь, длина кривой фигуру, ограниченную лучами и , кривой .

ФОРМУЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ в полярной системе координат.

Если функция непрерывна на отрезке , то площадь области рассчитывается по формуле : .

ДОК. Пусть - разбиение отрезка . Пусть и

. Тогда объемлющей фигурой для Лекция 19 Приложение определенного интеграла. Площадь, длина кривой является простая область, ограниченная кусочно-постоянной функцией и лучами

и , имеющая площадь . Объемлемой фигурой для является простая область ограниченная кусочно-постоянной функцией и лучами и , имеющая площадь . Числа и являются интегральными суммами функции на Лекция 19 Приложение определенного интеграла. Площадь, длина кривой отрезке (верхняя и нижняя интегральные суммы Дарбу, см. Пример 1). Если

разбиение , то сумма убывает, растет.

Если функция интегрируема на отрезке , то

.

ПРИМЕР 2. Отыскать площадь 1-го лепестка кривой ( m – лепестковая роза).

РЕШЕНИЕ. . .

^ П Лекция 19 Приложение определенного интеграла. Площадь, длина кривой.2 ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ.

ОПР. Дуга кривой разбивается точками , на n частей, концы которых

соединены отрезками .,образующими ломанную линию . Ее длина находится в зависимости от дуги кривой и разбиения кривой точками , . Длиной кривой именуют Лекция 19 Приложение определенного интеграла. Площадь, длина кривой число, равное , если оно существует.

Разглядим дугу графика функции на отрезке . Каждому разбиению отрезка соответствует ломаная, состоящая из объединения отрезков с началом в точках и концом в точке, .

Длина ломанной равна Лекция 19 Приложение определенного интеграла. Площадь, длина кривой , где и Если функция имеет непрерывную производную на отрезке , то по аксиоме Лагранжа существует набор точек , для которых . Тогда длина ломанной является интегральной суммой непрерывной функции и потому

=.

ФОРМУЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ДЛИНЫ ДУГИ Лекция 19 Приложение определенного интеграла. Площадь, длина кривой, данной параметрически.

Если дуга кривой задана параметрическими уравнениями , , в каких функции имеют непрерывные производные, то

.

Для ее подтверждения заметим, что разбиение порождает разбиение дуги кривой точками и длину ломанной , где и Лекция 19 Приложение определенного интеграла. Площадь, длина кривой .По аксиоме о среднем для производной существует набор и точек на отрезках , для которых и . Тогда длина ломаной равна

.

Приобретенное выражение по форме отличается от интегральной суммы функции , так как наборы и Лекция 19 Приложение определенного интеграла. Площадь, длина кривой ,вообщем говоря , разные.

Если интегральная сумма функции на отрезке соответственная разбиению ,то . Для хоть какого

. 2-ая часть оценки употребляет « неравенство треугольника»



.

В предположении непрерывности производных и колебания и - нескончаемо малые функции в точке , потому Лекция 19 Приложение определенного интеграла. Площадь, длина кривой существует такое , что для всех . Тогда для разбиений

.

ФОРМУЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ДЛИНЫ ДУГИ, данной в полярной системе.

Если , - уравнение кривой в полярной системе координат, то

. Тогда и .

Вычислим и получим разыскиваемую формулу

.

ПРИМЕР Лекция 19 Приложение определенного интеграла. Площадь, длина кривой 3. (длина цепной полосы)

Вычислить длину дуги, данной уравнением .

РЕШЕНИЕ. .

УПРАЖНЕНИЕ. Область ограничена графиком безпрерывно дифференцируемой функции

и прямой , проходящей через точки и

(сектор криволинейной трапеции ). Обосновать, что ее площадь .

РЕШЕНИЕ. , где . Тогда

, где Лекция 19 Приложение определенного интеграла. Площадь, длина кривой - функция колебания для производной на отрезке . Из догадки о непрерывности следует, что .

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1. Подтверждение формулы для вычисления площади криволинейной трапеции.

2. Подтверждение формулы для вычисления площади фигуры, ограниченной Лекция 19 Приложение определенного интеграла. Площадь, длина кривой кривой,

данной параметрически. Вычисление площади фигуры, граница которой задана

уравнением в полярной системе координат.

3. Длина дуги кривой данной графиком функции, параметрическими уравнениями,

уравнением кривой в полярной системе.

lekciya-18-shkola-i-pedagogika-v-novejshee-vremya.html
lekciya-18-vliyanie-semi-i-vospitaniya-na-formirovanie-lichnosti-konspekt-lekcij-konspekt-lekcij-po-kursu-psihologiya.html
lekciya-19-ergonomika-konspekt-lekcij.html