Лекция 12. Формула Тейлора 2

Лекция 12 . Формула Тейлора 2.

П.1 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Аксиома 1. (обобщенная аксиома Коши)

Пусть даны функции , , определенные на отрезке , имеющие непрерывные производные до порядка на интервале , при этом

1) (производные Лекция 12. Формула Тейлора 2 в точке a правые)

2) ,

3) , для .

Тогда существует , для которого .

ДОК. Применим поочередно аксиому Коши: существует :.

На отрезке производятся условия аксиомы Коши и существует , для которого . Продолжая, на отрезке существует точка , для которого .

Аксиома 2. (формула Лекция 12. Формула Тейлора 2 Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа)

Пусть функция непрерывна и имеет непрерывные производные до ( n+ 1) порядка на конечном отрезке . Тогда существует , для которого , где ( остаточный член в форме Лагранжа Лекция 12. Формула Тейлора 2).

ДОК. Применим обобщенную аксиому Коши для функций и . Условия аксиомы проверялись для функции (см. пример) и явны для функции . Тогда существует точка , для которой

.

П.2 Интервалы монотонности.

ОПР. Функция растет в точке , если для Лекция 12. Формула Тейлора 2 всех довольно малых , т.е. положительным приращениям аргумента соответствуют положительные приращения функции и уменьшению аргумента () соответствует уменьшение значения функции ().

ОПР. Функция убывает в точке , если для всех довольно малых , т.е. положительным приращениям Лекция 12. Формула Тейлора 2 аргумента соответствуют отрицательные приращения функции и уменьшению аргумента () соответствует роста значения функции ().

ОПР. Интервал именуется интервалом возрастания (убывания) функции ,если любая его внутренняя точка является точкой возрастания (убывания) функции.

Аксиома 3. (ДОСТАТОЧНЫЕ Лекция 12. Формула Тейлора 2 УСЛОВИЯ МОНОТОННОСТИ функции на интервале)

Пусть функция дифференцируема на интервале и () ,. Тогда функция строго растет (убывает) на интервале .

ДОК. (1) Пусть . Тогда по аксиоме о среднем Лагранжа существует , для которого .

(2) для Лекция 12. Формула Тейлора 2 убывания по аналогии.

Таким макаром, интервалы монотонности функции совпадают с интервалами знакопостоянства ее производной. Для их нахождения нужно отыскать производную функции, приравнять ее нулю и отыскать точки из области определения функции, в каких Лекция 12. Формула Тейлора 2 производная равна нулю либо не существует. Эти точки, именуемые критичными, являются границами интервалов монотонности. Если на одном из их производная , то это интервал возрастания функции, в неприятном – интервал убывания. Точка, в какой , может Лекция 12. Формула Тейлора 2 служить границей обратных интервалов монотонности либо, к примеру, 2-ух интервалов возрастания, которые можно соединить в один.

ПРИМЕР 1. Функция строго растет на R, но имеет точку критичной.

П.3. Экстремумы функции. Нужные и Лекция 12. Формула Тейлора 2 достаточные условия.

Понятия локального экстремума (максимума либо минимума) можно сконструировать в определениях приращения функции : функция имеет в точке серьезный локальный максимум , если ее приращение для всех довольно малых . Для локального минимума символ неравенства Лекция 12. Формула Тейлора 2 обратный. Для не серьезного локального максимума знаки неравенства не строгие.

^ Аксиома 4.(Нужное УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА)

Пусть в точке функция имеет локальный экстремум. Тогда или , или производной в точке не существует.

ДОК. (1) для максимума Лекция 12. Формула Тейлора 2. Если производной в точке нет, то аксиома подтверждена. Если производная существует, то и , т.е. .

(2) для минимума (по аналогии).

ПРИМЕР 2. Функция имеет в точке серьезный локальный минимум, хотя в точке производной у Лекция 12. Формула Тейлора 2 функции нет.

Аксиома 5. ( ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА по первой производной)

Пусть точка a является границей 2-ух интервалов монотонности и , функция непрерывна в точке , при этом

(1) интервал является интервалом возрастания, а - интервалом Лекция 12. Формула Тейлора 2 убывания функции. Тогда в точке функция имеет локальный максимум.

(2) интервал является интервалом убывания , а - интервалом возрастания функции. Тогда в точке функция имеет локальный минимум.

ДОК. (1) Из непрерывности функции в точке и однообразного роста функции Лекция 12. Формула Тейлора 2 на интервале следует, что и для . Аналогично, и для . Тогда для довольно малых . Если представить строгую монотонность на интервалах и , то экстремум будет серьезным.

Аксиома 6. (ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА по 2-ой производной)

Если Лекция 12. Формула Тейлора 2 точка критичная и существует , то в точке функция имеет локальный минимум, если , и локальный максимум, если .

ДОК. Заметим, что в критериях аксиомы . Разложим функцию по формуле Тейлора в округи точки :

.

Тогда Лекция 12. Формула Тейлора 2 в малой округи точки , приращение сохраняет символ производной . Если , то для довольно малых значений , т.е. в точке локальный минимум. Если , то для довольно малых и в точке - локальный максимум. Последняя аксиома обобщается на Лекция 12. Формула Тейлора 2 случай производных более больших порядков.

Аксиома 7. (ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА по производной четного порядка)

Если в точке производные , ,

то в точке функция имеет локальный минимум, если и максимум, если .

ДОК. Воспользуемся формулой Тейлора Лекция 12. Формула Тейлора 2 : . Тогда символ приращения определяется знаком производной .

УПРАЖНЕНИЕ. Каково поведение функции в округи точки , если

, а ?

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1) Обобщенная аксиома Коши и формула Тейлора с остаточным членом в форме Лекция 12. Формула Тейлора 2 Лагранжа.

2) Возрастание функции в точке и на интервале. Аксиома о достаточном условии возрастания функции на интервале. Нахождение интервалов монотонности.

3) Локальный экстремум функции. Нужное условие экстремума. Достаточное условие экстремума по первой производной.

4) Достаточное Лекция 12. Формула Тейлора 2 условие экстремума по 2-ой производной и четной производной.




lekciya-12-tehnologii-elektronnogo-dokumentooborota-uchebno-metodicheskij-kompleks-po-discipline-informacionnie.html
lekciya-12-vidi-termicheskoj-obrabotki-metallov-osnovi-teorii-termicheskoj-obrabotki-stali.html
lekciya-12a-diagnostika-elektricheskih-cepej-elektropoezda.html